LOGARITMOS

              

Un sistema de logaritmos requiere una base, la cual puede ser cualquier número positivo, una vez que se elige una base, podemos decir que el logaritmo de un número “x” es igual al exponente al que debemos elevar la base, para obtener como resultado el número “x”. 

Por ejemplo, si usamos el número 2 como base, podemos decir que el logaritmo en base 2 de 8, es 3, ya que la base 2 debe elevarse a la 3 para dar 8.

El logaritmo en base 2 de 32, es 5, porque 2 debe elevarse a la 5 para dar 32.

Si la base fuera 3, el logaritmo en base 3 de 81 sería 4, porque 3 debe elevarse a la 4 para dar 81.

En general, si el logaritmo en base n de x es A, entonces se cumple que n elevado a la A es x.

La base del sistema de logaritmos se escribe como subíndice de la abreviación “log”, así, log₅ significa logaritmo en base 5, log₇ significa logaritmo en base 7, etc. Cuando la base es 10 se suele omitir poner 10 como subíndice, así que cuando veamos solamente log, significa que la base por defecto es 10.

Por mucho, los dos sistemas de logaritmos más usados, son los de base 10 y de base “e”; el número “e” es un número muy importante en Matemáticas, su valor aproximado es 2.71828182845… los logaritmos de base 10 son llamados vulgares, comunes, o de Briggs, ya que fue Henry Briggs quien los desarrolló, mientras que los logaritmos de base “e” son llamados naturales o neperianos porque fue John Neper quien los dio a conocer, cuando se trata de logaritmos naturales generalmente no se usa log_e, sino ln.

Una de las razones por las cuales resulta muy útil estudiar los logaritmos se debe a que de alguna forma, éstos pueden hacer que una multiplicación se trabaje como una suma, una división como una resta, una potenciación como una multiplicación, y un radical como una división.

 PROPIEDAD 1.- El logaritmo del producto de dos cantidades, equivale a la suma de los logaritmos de los factores. Esto es:

Demos un ejemplo para verificar ésta propiedad: el logaritmo (en base 10) de 1000 es 3, no debe resultar difícil notar que 10 debe elevarse a la 3 para dar 1000, si expresamos 1000 como un producto, por ejemplo como 100*10, podemos ver que el logaritmo de 100 es 2, mientras el logaritmo de 10 es 1, por tanto al sumar los logaritmos 2+1 obtenemos el 3 que esperábamos.

PROPIEDAD 2.- El logaritmo del cociente de dos cantidades, es igual al logaritmo del dividendo menos el logaritmo del divisor.

Para verificar usamos el logaritmo de 100, sabemos que es 2, expresemos 100 como una división, por ejemplo 1000 ÷ 10, entonces logaritmo de 1000 es 3 y  logaritmo de 10 es 1, restando 3 menos 1 se obtiene el 2.

PROPIEDAD 3.- El logaritmo de una potencia, es igual al producto del exponente por el logaritmo de la base.

Podemos verificar ésta propiedad expresando por ejemplo 1000 como 10 elevado a la 3, así que el resultado sería el producto de 3 por el logaritmo de 10, es decir, 3 x 1 y obtenemos 3 tal como se esperaba.

PROPIEDAD 4.- El logaritmo de la raíz de índice “n” de un número es igual al logaritmo del número, dividido entre el índice del radical.

Ésta última propiedad es sólo un caso especial de la propiedad 3, pues debe recordarse que un radical puede expresarse como una potencia, de modo que la raíz de índice “n” de un número A, es igual a A elevado a la 1/n y si aplicamos la propiedad 3 queda: 1/n  log(A) lo cual equivale a  (log(A))/n.

El logaritmo de un número se puede calcular a partir de una tabla de logaritmos, aunque actualmente es más común usar calculadoras electrónicas, usualmente tienen la tecla “log” y la tecla “ln”, la primera se refiere a logaritmos de base 10, mientras la segunda es para logaritmos naturales.

 El dominio de una función logarítmica comprende todos los números positivos, sin incluir el cero, esto significa que no existen logaritmos de números negativos ni tampoco de cero; si intentas obtener el logaritmo de cualquier número negativo o de cero, la calculadora marca error. 

El logaritmo de una cantidad mayor que cero y menor que uno será negativo, el logaritmo de 1 es cero, y el logaritmo de cualquier cantidad mayor que 1 será positivo.

Sin duda la mayor utilidad de los logaritmos radica en el hecho de que en la naturaleza mucho fenómenos tienen un comportamiento que se puede modelar matemáticamente con una función exponencial, por citar algunos, en Biología se estudia el crecimiento de algunas bacterias y éste se modela muy bien con una función exponencial, en Química y Física  la desintegración radiactiva de los átomos, que entre otras cosas sirve para fechar algunos objetos muy antiguos (prueba del Carbono-14) también utiliza función exponencial, en Economía y Ciencias Sociales también se usan funciones exponenciales para explicar el crecimiento de algunas poblaciones o mercados, y los logaritmos son el recíproco o inverso de las exponenciales, por lo que también se usan en éstos estudios. 
Además resulta muy útil en las ciencias el uso de escalas logarítmicas, éstas escalas son un gran apoyo cuando el rango de valores de la variable que se está estudiando es muy amplio, por ejemplo, la masa promedio de las diferentes especies de mamíferos, es una variable que fluctúa entre apenas 2 gramos para las musarañas y algunas especies de murciélagos y 120,000,000 de gramos para la ballena azul, el mamífero más grande conocido, la variación es tremenda, desde el orden de las unidades hasta los millones de gramos, muy poco práctica para su estudio, pero si tomamos los logaritmos de esas masas obtendremos un rango de 0.30 a 8.07, mucho más fácil de manipular matemáticamente.

Otros casos de aplicación de escalas logarítmicas se dan en acústica (estudio del sonido) donde el rango de presión sonora sensible al oído humano varía de los 0.00002 Pascales, esto es el umbral audible (Po), a los 20 Pascales, umbral de dolor; es decir del orden de las cien milésimas a las decenas de Pascales, es mucha variación por lo que se usa una escala logarítmica y el resultado queda de 0 a 120 unidades llamadas decibeles (dB).

La escala Richter para medir la magnitud de los sismos es también una escala logarítmica, y la concentración de iones H₃O¹⁺ en soluciones (pH), utiliza también logaritmos.