TEOREMA DE PITÁGORAS

Uno de los recursos matemáticos más importantes en casi cualquier disciplina de las ciencias exactas, es sin duda el Teorema de Pitágoras.

Primero considero importante aclarar qué es un teorema; existen enunciados cuya veracidad es tan evidente que no necesitan demostración, a estos se les llama axiomas. Por otra parte hay enunciados que  siempre se cumplen, es decir, son ciertos, sin embargo no son tan evidentes, por lo cual necesitan una demostración irrefutable, a tales enunciados, se les conoce como teoremas.

El teorema de Pitágoras se cumple en todos los triángulos rectángulos, que son aquellos que tienen un ángulo recto, es decir de 90°, los lados del triángulo que forman el ángulo recto se llaman catetos, y el lado opuesto al ángulo recto, se llama hipotenusa, la hipotenusa es también fácil de identificar por ser el más largo de los tres lados del triángulo rectángulo. 

En la mayor parte de los dibujos de triángulos rectángulos, se identifica al ángulo recto con un cuadrito, los dos ángulos agudos restantes se suelen identificar con letras mayúsculas (generalmente A y B) y los lados con letras minúsculas:

En la figura, los lados a y b son los catetos, pues forman el  ángulo recto, en tanto que el lado c es la hipotenusa, ya que queda opuesto (de frente) al ángulo recto.

El teorema de Pitágoras se enuncia del siguiente modo:

“En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa, es igual a la suma de los cuadrados de los catetos”

Se expresa matemáticamente así:      c² = a² + b²

En términos más familiares, si elevamos al cuadrado la medida de los catetos, y después sumamos los resultados, obtenemos el cuadrado de la medida de la hipotenusa.

El teorema de Pitágoras se utiliza para calcular la medida de uno de los lados del triángulo, cuando se conocen las medidas de los otros dos lados; entonces se pueden presentar dos casos:

                  a)   Que se conozca la medida de los dos catetos, en cuyo caso se usa el teorema para calcular la medida de la hipotenusa.

                   b) Que se conozca la medida de la hipotenusa y uno de los catetos, aquí se usará el teorema para calcular la medida del cateto desconocido.  

    En el primer caso, dado que conocemos las medidas de los catetos, debemos elevar al cuadrado tales medidas, sumar los resultados, y finalmente extraer la raíz cuadrada de la suma, pues deseamos conocer la medida de la hipotenusa, no el cuadrado de dicha medida.

                       

 

En el segundo caso, se conoce la medida de la hipotenusa y uno de los catetos. Se debe  elevar al cuadrado la hipotenusa, y al resultado se le resta el cuadrado de la medida del cateto conocido, finalmente se extrae la raíz cuadrada.

En ésta última fórmula, llamamos “a” al cateto desconocido y “b” al conocido, pero da lo mismo si llamamos “b” al desconocido y “a” al conocido, sólo se tendrían que invertir sus posiciones en la fórmula. Es muy importante que dentro de la raíz se coloque primero el cuadrado de la hipotenusa y después se reste el cuadrado del cateto conocido; ya que hacerlo al revés provoca un valor negativo al restar, y no es posible calcular la raíz cuadrada de un número negativo en el dominio de los números reales.

      

Vamos a practicar:

Ejemplo 1: Calcular la medida de la hipotenusa de un triángulo rectángulo, si los catetos miden 30 cm y 40 cm.

      

Se conocen los catetos y podemos decir: a = 30 cm y b = 40 cm se sustituyen en la fórmula para hallar hipotenusa:

30 al cuadrado es 900, 40 al cuadrado es 1600, después se sumó 900 + 1600 = 2500, finalmente se extrajo la raíz cuadrada a 2500, que es 50. La hipotenusa debe medir 50 cm.

Ejemplo 2: Un triángulo rectángulo tiene un cateto de 45 pulg y la hipotenusa de 75 pulg, hallar la medida del otro cateto.

En este caso conocemos las longitudes de la hipotenusa y de uno de los catetos, podemos hacer: c = 75 pulg y b = 45 pulg. Y sustituír esos datos en la fórmula para hallar cateto.

El cuadrado de 75 es 5625, el cuadrado de 45 es 2025, restamos 5625 – 2025 = 3600, por último la raíz cuadrada de 3600 es 60, el cateto desconocido mide 60 pulg.

Ejemplo 3: Se necesita calcular el área de un triángulo equilátero (sus tres lados tienen la misma medida) cuyos lados miden 8 metros, utilice el teorema de Pitágoras para calcular la altura del triángulo, ya que es necesario conocerla para aplicar la fórmula: A=Bh/2 Donde B es la medida de la base y h es la altura del triángulo.

Ejemplo 5: Desde lo alto de un edificio de 30 m de altura, una persona observa su auto, el cual está estacionado a 20 m de la base del edificio. La persona se da cuenta de que olvidó activar el seguro y la alarma del auto, y desea activar el dispositivo desde el lugar en que se encuentra; si las especificaciones del fabricante del dispositivo indican que este tiene un alcance máximo de 35 m, ¿podrá activar el seguro y la alarma del auto desde donde se encuentra? Se calcula la distancia “d” con el teorema de Pitágoras: La distancia entre la persona y su auto es de 36.05 m, la cual es mayor que los 35 m de alcance máximo del dispositivo de activación; por tanto, la persona no puede activar el seguro y alarma de su auto desde lo alto del edificio. Las aplicaciones de éste teorema, son muchas, prácticamente no hay campo de las ciencias exactas en que no se aplique, lo que más debe cuidarse es plantear un modelo correcto del problema, buscar formar el triángulo rectángulo, y una vez formado e identificadas sus medidas conocidas, calcular la medida que haga falta.