FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

La trigonometría es la rama de las matemáticas que estudia a los triángulos; ¿y qué tienen de especial los triángulos que no tengan las demás figuras geométricas? ¿por qué no existe una cuadradometría o pentagonometría? Bueno, la respuesta a éstas curiosas preguntas es que prácticamente todos los polígonos se pueden formar con triángulos, al trazar las diagonales en un polígono desde uno de sus vértices, lo que se obtiene son triángulos, es por esto que es muy útil estudiar y comprender mejor a los triángulos, ya que ello nos conducirá a comprender mejor al resto de los polígonos. Además, las aplicaciones de la trigonometría a la vida cotidiana, sea en el ámbito académico o laboral son muy diversas.

Los triángulos que vamos a estudiar a continuación son los triángulos rectángulos, es decir, aquellos que tienen un ángulo recto, y en consecuencia, los otros dos ángulos agudos. Los lados que forman el ángulo recto son los catetos, el lado opuesto a dicho ángulo, es la hipotenusa.

Tenemos entonces 3 triángulos rectángulos: El triángulo ABE, triángulo ACF, y el triángulo ADG.

Si tomamos las medidas de cada lado de los triángulos, es decir, medir el segmento AB, BE, y AE, así como los segmentos AC, CF, y AF, y por último los segmentos AD, DG, y AG, encontraremos que se mantienen razones constantes entre los tres triángulos, es decir, si dividimos el cateto opuesto al ángulo A en el triángulo ABE, que es el segmento BE, entre el cateto adjunto que es el segmento AE, dará el mismo resultado, que si dividimos el cateto opuesto entre el adjunto en los otros dos triángulos, o sea: 

De lo anterior podemos notar que no importa tanto el tamaño de los lados, al dividirlos, dan los mismos resultados, y sólo cambiará dicho resultado hasta que se cambie el valor del ángulo A, así entonces, diremos que tales cocientes dependen, o están en función del ángulo A, se les llama funciones trigonométricas, y las definimos a continuación.

Resolver un triángulo es encontrar las medidas de todos sus lados y todos sus ángulos; para ello debemos conocer, o bien  la longitud de dos de sus lados, o  la longitud de uno de sus lados y la medida de uno de sus ángulos agudos.

No sirve conocer la medida de los tres ángulos y ninguno de sus lados, pues triángulos con igual medida de sus ángulos correspondientes, pueden presentar diferentes medidas de sus lados, a esos se les llama triángulos semejantes.

Para iniciar, lo más viable es hallar el valor de la medida del ángulo B, es sencillo, ya que debemos recordar que “en todo triángulo, la suma de las medidas de los tres ángulos internos es siempre igual a 180°” como estamos trabajando con triángulos rectángulos, ya sabemos que siempre uno de los ángulos será de 90°, por lo tanto, los otros dos ángulos son agudos y complementarios; complementarios significa que sus medidas deben sumar 90°.

Entonces, la medida del ángulo B será simplemente la diferencia entre 90° y el ángulo agudo conocido de 30°:

Ahora ya conocemos el valor del ángulo B, y para encontrar las medidas de los lados “b” y “c” debemos aplicar una función trigonométrica a cualquiera de los ángulos agudos, la función que elijamos debe expresarse como una ecuación con una sola incógnita, ya que si quedan dos incógnitas no se podrá resolver, por ejemplo coseno de 30° no es útil en este momento porque el coseno involucra al cateto adjunto con la hipotenusa, y en este momento no conocemos ninguno de esos dos valores (b es el cateto adjunto del ángulo de 30°), pero las funciones seno o tangente para el ángulo de 30° si se expresan con una ecuación con una sola incógnita :

En este punto, para hallar el cateto “b” podríamos usar el teorema de Pitágoras, pues ya conocemos las medidas de la hipotenusa y el otro cateto; sin embargo lo calcularemos con una función trigonométrica, para practicar el uso de éstas:

Como ya conocemos la medida de todos los demás elementos del triángulo, podemos usar cualquier función trigonométrica, sobre cualquiera de los dos ángulos agudos, obviamente la que elijamos debe involucrar al cateto “b”, si usamos coseno sobre el ángulo de 30° queda:

Se plantea ahora una función trigonométrica sobre cualquiera de los dos ángulos agudos, que involucre el lado conocido de 20m, con uno de los lados desconocidos “b” ó “c”

Para hallar la hipotenusa se usa una función que la involucre, puede ser seno o coseno de cualquiera de los dos ángulos agudos ya conocidos.

Para calcular los catetos no es útil la función tangente  en este caso, pues involucra a los dos catetos y aún no conocemos la medida de ninguno de ellos. Se puede usar seno o coseno sobre cualquiera de los ángulos agudos.

Ahora que ya conocemos uno de los catetos ya podemos usar tangente si queremos, o coseno si deseamos seguir trabajando con el ángulo de 42°, ya que si quisiéramos usar al ángulo A de 48°, podríamos usar tangente o seno, que son las funciones que involucrarían al cateto “a”, hay múltiples opciones y todas conducen al mismo resultado.

En los tres primeros ejemplos se conoce la medida de uno de los ángulos agudos y uno de  los lados del triángulo rectángulo, ya sea uno de los catetos o la hipotenusa, y a partir de ello se calculan las medidas de los otros dos lados y del otro ángulo agudo.

A continuación veremos cómo resolver triángulos rectángulos de los que se conozcan las medidas de dos de sus lados, ya sean los dos catetos, o un cateto y la hipotenusa, y ninguna de las medidas de los ángulos agudos:

Ejemplo 4: Calcular la medida del lado desconocido y los dos ángulos agudos en el siguiente triángulo rectángulo: 

Para despejar A en la ecuación anterior se usa una función inversa, que anule el efecto de la función seno y así podamos conocer el valor del ángulo A, las funciones trigonométricas tienen sus inversas, por ejemplo la función seno tiene su inversa que es “arco seno” o también conocida como sen^-1, se lee “seno a la menos uno”, de forma similar hay cos^-1 “coseno a la menos uno” y tan^-1, “tangente a la menos uno”, aunque en la mayoría de la bibliografía de trigonometría se señala que lo adecuado es arco seno, arco coseno, y arco tangente, usaremos sen^-1 , cos^-1, y tan^-1 porque son más comunes en las calculadoras científicas, arriba de las teclas correspondientes a las funciones seno, coseno y tangente, se encontrará sen^-1, cos^-1 y tan^-1,para acceder a dichas funciones se debe usar primero la tecla “shift” o “2^a” dependiendo del modelo y marca de la calculadora.

Ahora ya conocemos las medidas de los ángulos agudos, podemos aplicarle a cualquiera de ellos una función trigonométrica que involucre al cateto desconocido “b”

Por supuesto se puede usar el teorema de Pitágoras desde el principio para calcular la medida del cateto “b”, ya que conocemos las medidas del otro cateto y la hipotenusa, preferí calcularlo usando funciones trigonométricas  para practicar su uso, aún así, se puede usar el teorema de Pitágoras como comprobación si se desea:

Lo cual coincide con el resultado para “b” usando funciones trigonométricas.

Ahora podemos aplicar una función trigonométrica seno o coseno a cualquiera de los ángulos agudos, para encontrar la medida de la hipotenusa:

A continuación algunos ejercicios para poner en práctica lo aprendido, se ofrecen las respuestas, sus resultados pueden variar ligeramente debido a los diferentes redondeos que se tomen.