Es notable que un amplio sector de la población tiene problemas con el uso de números fraccionarios, esto se observa en estudiantes de secundaria y bachillerato y en un número no despreciable de estudiantes del nivel superior; sin duda, las fracciones son uno de los primeros grandes obstáculos que encontramos en nuestro desarrollo escolar, y en muchos casos, se arrastra este obstáculo a lo largo de todo el desarrollo académico de la persona, que puede llegar incluso a obtener un grado de licenciatura, sin manejar adecuadamente estas cantidades; menciono esto para que, si el lector presenta éste problema, empiece por saber que usted no es el único que tiene dificultad para el manejo de las fracciones, sino más bien, es un problema muy generalizado en nuestra población.
Empecemos por conocer qué es una fracción, el conjunto de los Números Racionales, se define como el conjunto de todas aquellas cantidades que se pueden expresar como el cociente (división) de dos enteros, es decir, todas las fracciones, e incluso los números enteros, ya que un número entero puede adoptar la apariencia de una fracción si se le coloca un 1 como denominador. Es importante señalar que en este contexto, el término “racional” se refiere a “ración” o “porción” o “una parte de algo”, y no a “razonamiento”.
Una fracción se compone de dos números llamados “numerador” y “denominador” y se expresa en forma de división, donde el numerador es el dividendo (lo que se divide) y el denominador será el divisor (entre cuánto se divide):
Para nombrar una fracción se menciona primero el numerador en forma cardinal y después el denominador del siguiente modo: medios para 2, tercios para 3, cuartos para 4, quintos para 5, etc. Hasta llegar a décimos para el 10, del 11 en adelante se nombra el número con la terminación “avos”, tenemos entonces onceavos para 11, doceavos para 12, etc.
De un total de $25,200 se emplean 2/7 para pagar adeudos pendientes, y 3/5 para adquirir insumos para un negocio; ¿cuánto dinero se pagará por adeudos?, ¿cuánto dinero se ocupa para comprar insumos?, ¿cuánto dinero queda disponible para otros gastos?
Vamos por partes, primero calcularemos la cantidad de dinero destinada a pagar adeudos pendientes, son 2/7 del total, así que dividimos 25,200 entre 7, el resultado es una séptima parte del total, y como se necesitan dos séptimas partes, se debe multiplicar por 2:
Se pagarán $7,200 de adeudos pendientes.
Ahora calcularemos la cantidad destinada a comprar insumos, son 3/5 de total, así que se dividirán los 25,200 entre 5, lo cual será un quinto del total, y como se requieren tres quintos, se multiplicará por tres:
Se usan $15,120 para comprar insumos.
Para calcular la cantidad de dinero restante sólo es necesario restar lo que se ha gastado de los 25,200 iniciales:
Quedan $2,880 disponibles para otros gastos.
*FRACCIONES PROPIAS, IMPROPIAS, Y NÚMEROS MIXTOS*
Cuando el numerador es menor que el denominador decimos que la fracción es propia, una fracción propia por tanto, no puede formar enteros, así que su valor decimal siempre es menor que la unidad. El valor decimal es aquel que se obtiene si se realiza la división de numerador entre denominador. 3/4 es una fracción propia, porque el numerador es menor que el denominador, y si realizamos la división: 3 entre 4 da igual a 0.75 y observamos que es menor que la unidad.
Cuando el numerador es mayor que el denominador, entonces decimos que la fracción es impropia, una fracción impropia si forma enteros, pues si se realiza la división, se tiene que el dividendo es mayor que el divisor, y en consecuencia el resultado siempre será mayor que la unidad. 7/4 es una fracción impropia, porque el numerador es mayor que el denominador, si realizamos la división: 7 entre 4, da igual a 1.75 y observamos que el resultado es mayor que la unidad. En general:
Para
expresar una fracción impropia como número mixto se divide numerador entre
denominador, sin aplicar punto decimal, es decir hasta que quede un residuo
indivisible por el denominador, entonces, el cociente que se tenga será la parte
entera del número mixto y la parte fraccionaria se forma tomando al residuo de
la división como numerador y al divisor como denominador, es decir, el
denominador sigue siendo el mismo.
Para
expresar un número mixto como fracción impropia sólo se multiplica la parte
entera por el denominador de la parte fraccionaria, luego este resultado se
suma con el numerador de dicha parte fraccionaria, la suma resultante será el
numerador de la fracción impropia, cuyo denominador será el mismo que tenga la
parte fraccionaria del número mixto.
Los
números mixtos son aquellos en los que aparece un entero acompañado de una
fracción propia, de ahí el término “mixtos” que se puede entender como
“mezclar” ya que se mezclan enteros con fracciones. Como hay presencia de
enteros, sólo las fracciones impropias se pueden expresar como números mixtos.
Un número mixto se lee mencionando primero la parte entera seguida de la parte
fraccionaria; por ejemplo:
*FRACCIONES
EQUIVALENTES*
Las fracciones equivalentes son aquellas que están expresadas
con diferentes cantidades, pero su valor numérico es el mismo, de ahí el
término “equivalentes” (igual valor).
De
una fracción dada, pueden obtenerse infinidad de fracciones equivalentes, sólo
basta multiplicar tanto al numerador como al denominador por la misma cantidad
Así podemos multiplicar numerador y denominador por cualquier
número y obtener más fracciones equivalentes. También es posible dividir al
numerador y al denominador entre el mismo número, y obtener una fracción
equivalente, en ese caso es común decir que se simplifica la fracción, porque
queda expresada con cantidades más pequeñas, cuando se llega al punto en que el
numerador y el denominador ya no son divisibles por una misma cantidad, se dice
que la fracción es irreducible, es decir, que ya no puede simplificarse más.
*OPERACIONES CON
FRACCIONES*
Ahora que ya conocemos mejor la estructura de las fracciones, es
buen momento para empezar a realizar operaciones con ellas, iniciaremos con la
suma.
a) Suma de fracciones con igual denominador
Cuando los sumandos (las cantidades que
se suman) tienen el mismo denominador, la suma tendrá ese mismo denominador, y
su numerador será la suma de los numeradores de los sumandos:
En algunas ocasiones el resultado de una suma o resta de
fracciones, nos deja fracciones que pueden simplificarse, es decir expresarse
con números más pequeños, a esas expresiones simplificadas se les llama
fracciones equivalentes, éstas tendrán el mismo valor numérico pero se
representan con diferentes cantidades, por ejemplo 4/6 y 2/3 son fracciones
equivalentes, pues representan la misma cantidad, aunque con diferente
apariencia, si en ambos casos realizamos la división encontramos que el
resultado es el mismo: 0.666…
En general es deseable expresar los resultados de operaciones
con fracciones del modo más simplificado posible, es decir, con los números más
pequeños que se pueda, para simplificar una fracción tanto el numerador como el
denominador se deben dividir por la misma cantidad, es decir, si ambas son
divisibles entre 2, se dividen entre 2, si son divisibles entre 3, se dividen
entre 3, etc.
b) Suma de fracciones con diferente
denominador.
Se expresan las
fracciones que se van a sumar con
fracciones equivalentes con el mismo denominador, al cual se le llamará
“Denominador Común (DC)”, puede obtenerse el DC calculando el mínimo común
múltiplo (mcm) de los denominadores, si no se recuerda como calcular el mcm
puede optar por multiplicar todos los denominadores. Una vez obtenido el DC se
buscan los numeradores que corresponden a cada fracción. Para hallar el
numerador que corresponde a una fracción, se divide el DC entre el denominador
de la fracción y el cociente obtenido se multiplica por el numerador de la
misma fracción, el resultado será el numerador buscado.
A
primera vista, esta regla puede parecer complicada, un ejemplo resultará
seguramente más esclarecedor:
Es
posible sumar más de dos fracciones con éste método:
Se suma 40 + 45 + 12 = 97 y ese será el
numerador del resultado, el denominador es el denominador común, la fracción es
irreducible, es decir, no se puede simplificar.
Una
vez más se observa como las fracciones quedan expresadas con igual denominador,
4/3 como 40/30; 3/2 como 45/30; y 2/5 como 12/30.
Si
se nos presenta una suma de números mixtos, una buena opción será convertirlos
primero en fracciones impropias y después sumarlos:
*RESTA DE FRACCIONES*
Para
restar fracciones el proceso es fundamentalmente el mismo, la única diferencia
es que en lugar de sumar numeradores parciales, se restan.
*MULTIPLICACIÓN
DE FRACCIONES*
La multiplicación de fracciones se
realiza de una forma muy sencilla:
Se multiplican los numeradores de los
factores, y el producto será el numerador del resultado.
Se multiplican los denominadores de los
factores, y el producto será el denominador del resultado.
Si
es posible, se simplifica el resultado
*DIVISIÓN DE
FRACCIONES*
Recordemos que la cantidad que se divide se llama dividendo y la
cantidad que indica entre cuánto se divide es el divisor.
Se multiplica el numerador del dividendo por el denominador del
divisor, el producto será el numerador del resultado.
Se multiplica el denominador del dividendo por el numerador del
divisor, el producto será el denominador del resultado.
Si
es posible, se simplifica.
También es posible realizar la división
en el siguiente formato:
Donde se
multiplican los “extremos” para obtener el numerador y los “medios” para
obtener el denominador.
En
el caso anterior:
una cagada
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