En últimas fechas se ha puesto en boga la ciencia forense, en parte debido a los exitosos programas de tv y a la apertura de estudios de
licenciatura en dicho campo en nuestra región. Para no quedarme atrás, quise
presentar la resolución de un problema extraído del libro “ecuaciones
diferenciales con aplicaciones y notas históricas” de George F. Simmons.
El problema dice así:
Por razones obvias, la sala de disección de un forense se
mantiene fría a una temperatura constante de 5°C. Mientras se encontraba
realizando la autopsia de la víctima de un asesinato, el propio forense es
asesinado, y el cuerpo de la víctima, robado. A las 10 A.M. el ayudante del
forense descubre su cadáver a una temperatura de 23°C. A mediodía, su
temperatura es de 18.5°C. Supuesto que el forense tenía en vida la temperatura
normal de 37°C, ¿a qué hora fue asesinado?
Una buena aproximación la brinda la ley del
enfriamiento de Newton, que establece que un cuerpo se enfría a un ritmo
proporcional a la diferencia de temperatura del cuerpo respecto a la
temperatura ambiente. Si llamamos "T" a la temperatura del cuerpo, "Ta" a la
temperatura ambiente y "t" al tiempo transcurrido en horas, entonces la ley del
enfriamiento de Newton se escribe así:
La derivada de la temperatura con respecto al tiempo es el ritmo
de enfriamiento, la constante K es una constante de proporcionalidad que debe
ser calculada de acuerdo a los datos del problema en particular, es negativa
porque el cuerpo se va enfriando, es decir, la temperatura va disminuyendo, y
se ve que la derivada es proporcional a la diferencia de las temperaturas del
cuerpo y el ambiente, esto es (T-Ta).
Se resuelve la ecuación diferencial por el método de variables
separables:
Ahora
colocamos los datos: Ta=5°C, y sabemos que en t=0 el forense fue asesinado, y
su temperatura era 37°C, colocar estos datos en la ecuación nos servirá para
encontrar el valor de la constante C.
Ya
sabemos que la constante C=32, ahora, si llamamos t1 al tiempo
transcurrido desde el asesinato del forense hasta las 10 A.M. cuando la
temperatura de su cuerpo era 23°C, la ecuación queda:
A mediodía el tiempo transcurrido desde el asesinato del forense
es t1+2 horas, y la temperatura del cuerpo es 18.5°C, la ecuación
queda:
El problema se reduce ahora a encontrar el valor de t1,
si despejamos –K de cada una de las ecuaciones I y II:
Agrupando t1 en el primer miembro:
Se factoriza t1:
t1=4
horas, es decir, transcurrieron 4 horas desde el asesinato del forense, hasta
las 10 A.M. esto significa que el asesinato ocurrió a las 6 A.M.
